Các dạng toán phương trình lượng giác, phương pháp giải và bài bác tập trường đoản cú cơ bản đến cải thiện - toán lớp 11

Sau khi có tác dụng quen với những hàm lượng giác thì các dạng bài bác tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo mà những em đã học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác nâng cao


Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? chúng ta cùng mày mò qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các phương thức giải này để làm các bài bác tập tự cơ bạn dạng đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Triết lý về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π cùng cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó những nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và phương thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức nghiệm tương ứng với từng phương trình.

* lấy một ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải mã bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy một ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một số trong những phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để mang về phương trình lượng giác đã đến về phương trình cơ phiên bản như Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải các phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ cùng với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* giữ ý: Bài toán trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu lại ý: bài toán áp dụng công thức chuyển đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* giữ ý: Bài toán trên có vận dụng công thức thay đổi tổng các thành tích và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* lấy một ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm con số giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta tất cả phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu ý: Khi để t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải tất cả điều kiện: -1≤t≤1

* ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ cùng với t = 1: sinx = 1 

*

+ với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 phải loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 không hẳn là nghiệm của phương trình vì a≠0,

 Chia 2 vế đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - trường hợp phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta cầm d = d.sin2x + d.cos2x, cùng rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ giải pháp 1: Chia nhị vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ phương pháp 2: Sử dụng công thức sinx cùng cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t.

* lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) tất cả nghiệm lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng thể của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: bài xích toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx với cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Bài Tập Về Many Much A Lot Of, Lots', Bài Tập Về Many Much A Lot Of

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- vì thế sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng mà cũng hoàn toàn có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài bác tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với hầu như giá trị như thế nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° giải mã bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài bác 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° giải mã bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT tất cả nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT bao gồm nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải mã bài 2 trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0